Quanta-Magazin

Oct 08, 2023

21. Juni 2023

Samuel Velasco/Quanta Magazine

Mitwirkender Autor

21. Juni 2023

An einem Samstagnachmittag im Herbst 2021 blätterte Silvio Decurtins in einem Aufsatz mit einem Titel, der aus einem Comic für mathematisch begabte Teenager hätte stammen können: „Platons Würfel und die natürliche Geometrie der Fragmentierung.“

Es war nicht der ungewöhnliche Titel, der ihm ins Auge fiel, sondern die Bilder auf der dritten Seite – geologische Muster in allen Größenordnungen, vom rissigen Permafrost bis zu den tektonischen Platten der Erde. Decurtins, ein Chemiker an der Universität Bern, wurde an die Materialien erinnert, die er studiert hatte. "Ah! Ich habe auch Muster!“ er dachte. „Es ist nur eine Frage der Größe.“

Die Muster der Decurtins wurden nicht durch Risse in der Erde, sondern durch Moleküle gebildet: Es handelte sich um mosaikartige Aneinanderreihungen von Molekülen in Schichten, die nur ein Molekül dick waren. Diese 2D-Materialien können besondere und praktische Eigenschaften haben, die von der Anordnung ihrer molekularen Bausteine ​​abhängen.

Beispielsweise ist es möglich, Moleküle in zweidimensionalen Mustern anzuordnen, die Elektronen als Rechenbits oder zum Speichern von Daten verwenden. Muster mit Lücken können als Membranen wirken. Und Muster, die Metallionen enthalten, können starke Katalysatoren sein.

Es ist möglich, diese 2D-Materialien Atom für Atom aufzubauen, aber dies ist teuer, schwierig und zeitaufwändig. So viele Wissenschaftler, darunter auch Decurtins und seine Kollegen, möchten Materialien entwerfen, die sich von selbst zusammensetzen. Die Vorhersage, wie sich Moleküle zu zweidimensionalen Schichten zusammenfügen, sei eine der großen Herausforderungen der Materialwissenschaften, sagte Johannes Barth, Physiker an der Technischen Universität München.

Das liegt daran, dass die Natur mit ihrer Molekulardesign-Philosophie nicht besonders entgegenkommend war. Die Vorhersage der Selbstorganisation ist eine Aufgabe für Supercomputer, und die Ausführung der erforderlichen umfangreichen Programme kann Tage oder Wochen dauern.

Deshalb nahm Decurtins Kontakt zu Gábor Domokos auf, dem Erstautor der Studie, einem Mathematiker an der Technischen und Wirtschaftswissenschaftlichen Universität Budapest. Decurtins fragte sich, ob dieselbe Geometrie, die beschreibt, wie Planeten zerbrechen, erklären könnte, wie sich Moleküle zusammensetzen.

Lassen Sie sich das Quanta Magazine in Ihren Posteingang liefern

Gábor Domokos, Mathematiker an der Technischen und Wirtschaftswissenschaftlichen Universität Budapest, nutzte Geometrie, um geologische Muster in jedem Maßstab zu beschreiben.

Mit freundlicher Genehmigung von Gábor Domokos

Im Laufe des nächsten Jahres nutzten Domokos und seine Kollegen geometrisches Denken, um die Regeln der molekularen Selbstorganisation zu entschlüsseln – und entwickelten eine neue Methode, um die Mosaike, die Moleküle bilden können, einzuschränken, indem sie nur die einfache Geometrie der Tessellation nutzten.

„Zuerst glaubten sie nicht, dass man das schaffen kann“, sagte Domokos. „Sie machten künstliche Intelligenz, Supercomputing und all diese Art von Jazz. Und jetzt schauen sie sich nur Formeln an. Und das ist sehr entspannend.“

Nachdem Decurtins Kontakt aufgenommen hatte, versuchte Domokos, die Idee seiner Doktorandin Krisztina Regős zu verkaufen. Decurtins hatte eine Handvoll Bilder geschickt, die Muster auf atomarer Ebene zeigten – Kacheln eines Moleküls, das von seinem Kollegen Shi-Xia Liu entworfen und synthetisiert worden war – betrachtet durch das Auge eines leistungsstarken Mikroskops. Domokos wollte herausfinden, ob Regős die Geometrie, die er ursprünglich zur Beschreibung geologischer Brüche entwickelt hatte, nutzen könnte, um die Muster in Decurtins‘ Bildern zu charakterisieren.

Zunächst behandelte Regős die 2D-Materialien als einfache polygonale Tessellationen – Muster, die lückenlos zusammenpassen und sich unendlich wiederholen. Dann berechnete sie, dem Ansatz von Domokos folgend, zwei Zahlen für jedes Muster. Der erste Wert war die durchschnittliche Anzahl der Scheitelpunkte oder Ecken pro Polygon. Der zweite Wert war die durchschnittliche Anzahl der Polygone, die jeden Scheitelpunkt umgeben.

Zusammengenommen sind diese beiden Durchschnittswerte wie die GPS-Koordinaten eines Musters. Sie geben seinen Standort innerhalb einer Landschaft aller möglichen Tessellationen an.

Diese Landschaft wird symbolische Ebene genannt. Es handelt sich um ein einfaches 2D-Gitter mit der durchschnittlichen Anzahl von Formen pro Scheitelpunkt auf der x-Achse und der durchschnittlichen Anzahl von Scheitelpunkten pro Form auf der y-Achse. Jede Tessellation sollte genau einen Punkt innerhalb der Ebene darstellen. Ein perfektes Wabenmuster ist beispielsweise eine Tessellation aus sechseckigen Sechsecken, die sich in Trios an jedem Scheitelpunkt treffen – einem Punkt bei (3, 6) in der symbolischen Ebene.

Aber die meisten natürlichen Mosaike, von Felsrissen bis hin zu molekularen Monoschichten, sind keine perfekt periodischen Tessellationen.

Beispielsweise sind die Zellen einer echten Wachswabe nicht alle perfekte Sechsecke. Bienen machen Fehler. Aber so chaotisch es auch sein mag, eine Wabe ist im Durchschnitt immer noch eine Wabe. Und im Durchschnitt wird immer noch ein Punkt bei (3, 6) in der symbolischen Ebene dargestellt. Domokos‘ Methode zur Berechnung von Durchschnittswerten sei keine übermäßige Vereinfachung, sondern aufschlussreich, sagte die Mathematikerin Marjorie Senechal vom Smith College, die die neue Studie überprüfte. Durch das Ausblenden von Fehlern und das Behandeln von Mustern als Durchschnittswerte offenbart es eine Art ideale Realität, die normalerweise unter Unmengen von Zufällen verborgen liegt.

Doch als Regős versuchte, diese Methode auf die molekularen Bilder von Decurtins anzuwenden, geriet sie schnell in Schwierigkeiten. „Ich fing an, sie auf die symbolische Ebene zu bringen“, sagte sie, „und dann wurde mir klar, dass ich das nicht kann.“

Das Problem war die Größe. Im Gegensatz zu den geologischen Mustern, mit denen Domokos zuvor gearbeitet hatte, sind die molekularen Mosaike tatsächlich Muster innerhalb von Mustern. Bei unterschiedlicher Vergrößerung weisen sie unterschiedliche Geometrien auf. Regős konnte die molekularen Mosaike nicht mit einem einzigen Wertepaar beschreiben, da die Muster je nach Vergrößerung eines Bildes unterschiedliche Punkte auf der symbolischen Ebene darstellten. Es war ein bisschen so, als würde man eine sechseckige Kachel vergrößern und feststellen, dass ihre Grundbausteine ​​in Wirklichkeit Dreiecke sind.

Ein Bild im Nanometerbereich von zwei komplizierten Mustern, die von demselben Molekül gebildet werden.

Remy Pawlak und Ernst Meyer

„Also sagte Kriszti: Okay, das ist ein Chaos“, sagte Domokos.

Dann fand sie heraus, wie man die Mosaike aufräumt. Anstatt die verschachtelten Muster der Materialien in ein einziges Durchschnittspaar zu zwingen, teilte sie sie in drei Organisationsebenen auf, von denen jede durch einen eigenen Punkt auf der symbolischen Ebene dargestellt wird.

Auf der untersten Ebene verbinden sich die Atome jedes Moleküls zu einem Polygon. Diese Moleküle verbinden sich dann über Wasserstoffbrückenbindungen miteinander und bilden ein Mosaik aus Polygonen. Auf der am stärksten verkleinerten Ebene schließlich schrumpfen einzelne Moleküle zu Punkten, und diese Punkte verbinden sich zu einem Mosaik.

Im neuen Rahmen von Regős wird jede Ebene als einfaches Netz aus Punkten und Linien dargestellt – ein Diagramm.

Die Verwendung der Graphentheorie zur Beschreibung molekularer Muster „ist sehr wirkungsvoll“, sagte Carlos-Andres Palma, Chemiephysiker an der Chinesischen Akademie der Wissenschaften und der Humboldt-Universität zu Berlin. Traditionell klassifizieren Wissenschaftler Muster anhand ihrer Symmetrien. Aber das spiegelt nicht die Verwirrung der Realität wider – echte Nanomaterialien seien selten perfekt periodisch oder symmetrisch, sagte Palma. Die Reduzierung molekularer Muster auf einfache, flexible Diagramme „ermöglicht es uns meiner Meinung nach, viel besser mit der natürlichen Welt zu kommunizieren“, sagte er.

Regős und Domokos hatten nun eine Möglichkeit, die molekularen Mosaike von Decurtins zu beschreiben, ein wichtiger Schritt zur Vorhersage, wie sich Moleküle selbst zusammensetzen könnten.

„Wir sind wirklich ziemlich schlecht im Vorhersagen“, sagte Ulrich Aschauer, Computerphysiker an der Universität Salzburg, der sich mit Selbstorganisation beschäftigt.

Traditionell verwenden Wissenschaftler eine Vielzahl von Methoden, um vorherzusagen, wie sich Moleküle selbst zusammensetzen. Aschauer simuliert, wie Moleküle auf einer Oberfläche interagieren. Dann identifiziert er die Muster, deren Bildung am wenigsten Energie erfordert und die am wahrscheinlichsten auftreten sollten. Andere Wissenschaftler untersuchen große Mengen zufällig generierter Muster oder trainieren Algorithmen für maschinelles Lernen, um die Selbstorganisation vorherzusagen. Alle diese Methoden sind rechenintensiv – Palma erinnerte sich, wie ein Kollege einst jahrelang Wassermoleküle simulierte, nur um eine einzige Vorhersage darüber zu treffen, wie sich Wasser selbst zusammensetzt. Auch maschinelle Lernalgorithmen haben blinde Flecken; Sie lernen nur, was man ihnen füttert, sagte Aschauer. Und es ist unmöglich, jedes mögliche Muster zu überprüfen, daher müssen Wissenschaftler oft raten, welche überhaupt eine Überlegung wert sind.

„Unsere anfängliche Vermutung bestimmt, was wir letztendlich finden“, erklärte Aschauer. „Und es ist ein riesiges Problem, denn wenn ich von Anfang an nicht die richtige Intuition habe, lande ich im Unrecht.“

Als Krisztina Regős Doktorandin an der Technischen und Wirtschaftswissenschaftlichen Universität Budapest war, entwickelte sie eine Möglichkeit, molekulare Muster als einfache Tessellationen zu beschreiben.

Gabriel P. Smith

Aber die Geometrie von Regős und Domokos war agnostisch. Es behandelte Moleküle einfach als Punkte und Bindungen als Linien. Es war keine anfängliche Vermutung erforderlich.

Nachdem sie Aschauer und Decurtins in der Schweiz persönlich getroffen hatten, wandten sich die Mathematiker schließlich der schwierigen Aufgabe zu, Muster vorherzusagen, anstatt sie einfach nur zu beschreiben.

So wie es aussieht, könnte das System von Regős die mittlere Organisationsebene eines Musters einschränken, in der Moleküle Polygone und Wasserstoffbrücken Linien sind. Aber sie konnte nicht von der molekularen Kachel nach oben arbeiten, um das großflächige Mosaik vorherzusagen. Ohne etwas, das alle drei Ebenen mathematisch verknüpfte, war ihr Modell wie eine Leiter mit fehlender Sprosse.

Domokos entschied, dass es sich lohne, sich bei Kostya Novoselov zu erkundigen – einem Physiker an der National University of Singapore, der für die Synthese von Graphen, dem vielleicht berühmtesten 2D-Material überhaupt, den Nobelpreis erhielt. Die beiden hatten sich Anfang des Jahres zufällig kennengelernt, nachdem Novoselov in einem Geschäft in Budapest eine auffällige Anzahl von Gömböcs, neuen geometrischen Formen, die Domokos entdeckt hatte, bestellt hatte.

Mit Novoselovs Input verfeinerten Domokos und Regős ihr geometrisches Modell. Bis dahin hatten sie nur drei Organisationsebenen verwendet: das Molekül, das mittelskalige Muster und das großskalige Muster. Novoselov schlug vor, eine vierte Ebene hinzuzufügen – eine Brücke zwischen der mittleren und der großen Ebene. Die Gleichung, die diese Brücke beschreibt, verknüpfte die Geometrie der kleinsten und mittleren Ebenen mit der größten Ebene, dem molekularen Mosaik.

Nachdem die Brücke angebracht war, konnte das Team nun die molekulare Kachel nehmen und nach oben arbeiten, um ihre potenziellen großräumigen Muster mithilfe eines einfachen Systems aus fünf algebraischen Gleichungen und Ungleichungen einzuschränken, das auf die Rückseite eines Umschlags passen könnte. In diesen mathematischen Aussagen sind die Variablen die Koordinaten eines Musters auf der symbolischen Ebene sowie einige Begriffe, die die Struktur eines Moleküls beschreiben. Als Ganzes betrachtet verknüpft das System jede Organisationsebene mit den anderen und mit den Koordinaten eines Musters auf der symbolischen Ebene.

Auf der symbolischen Ebene dargestellt, fallen die möglichen großräumigen Anordnungen eines Moleküls auf einen kleinen Abschnitt der Kurve, der alle möglichen raumfüllenden 2D-Molekülmuster definiert. Die Forscher könnten nun das Ausgangsmolekül verwenden, um diesen Schnitt einzuschränken.

Aber sie waren noch nicht davon überzeugt, dass ihr „Ausschnitt“ möglicher Muster klein genug war. Wenn es zu breit wäre, wäre es keine sehr nützliche Einschränkung. Als Liu die Strukturen von 2D-Wassereis auf der symbolischen Ebene aufzeichnete, stellte sie fest, dass sie perfekt am äußersten Ende des vorhergesagten Bereichs der Methode lagen. Die Grenzen konnten nicht verbessert werden.

„Das ist hier die Sprache der Natur“, sagte Domokos. „Das war eine große Überraschung für mich.“

Gegen Ende des Projekts, im Mai 2022, reisten die Ungarn erneut in die Schweiz. Diesmal überraschten sie ihre Kollegen mit einem Besuch des Mikroskops, das die Bilder erzeugt hatte, mit denen sie gearbeitet hatten – und da wurde Regős und Domokos endlich klar, was sie getan hatten: Indem sie großflächige Mosaike mathematisch mit molekularen Bindungen verknüpften In einem viel kleineren Maßstab hatten sie etwas von dem unsichtbaren Wirrwarr von Wechselwirkungen eingefangen, die letztendlich bestimmen, wie sich molekulare Muster bilden. Ihre Geometrie konnte Dinge „sehen“, die die Maschine nicht sehen konnte.

Gábor Domokos mit einem Rastertunnelmikroskop in Basel, Schweiz – dem Instrument, das die Bilder machte, die er und Krisztina Regős zur Entwicklung ihres geometrischen Rahmens zur Vorhersage molekularer Mosaike verwendeten.

Mit freundlicher Genehmigung von Krisztina Regős

„Es war unglaublich“, sagte Regős. „Wir sind in den Keller gegangen und haben gesehen, dass sie an der Grenze unserer Wissenschaft sind.“

Die Verwendung eines Mikroskops, um selbstorganisierte Muster zu verstehen, sagte Novoselov, sei so, als würde man versuchen, Gras zu verstehen, indem man es von oben fotografiert. Diese Bilder sagen viel über Gras aus, „aber definitiv nicht alles“, sagte er. Sie verraten wenig über die Wurzeln des Grases oder wie es wächst. Das Framework von Domokos und Regős kann die Wurzeln nicht perfekt erkennen, bietet aber eine völlig neue Möglichkeit, sie zu skizzieren, indem es die molekularen Bausteine ​​eines Musters mit dem letztendlichen Mosaik verknüpft.

„Sie setzen eine wunderbare alte Tradition der Untersuchung der Beziehung zwischen Wachstum und Form fort“, sagte Senechal, „die wirklich von zentraler Bedeutung ist, um alles in der Welt um uns herum zu verstehen.“

Die molekulare Selbstorganisation beginnt oft mit einem kleinen Materialstück, das zu einem größeren Muster heranwächst. Der neue mathematische Rahmen geht jedoch von einem unendlichen Muster und nicht von einem endlichen Bereich aus. Die Anpassung der Arbeit, um zu beschreiben, wie endliche Flecken zu größeren Mustern heranwachsen, könnte ein Schritt in Richtung einer echten Vorhersage sein, sagte Palma. Aschauer sagte, er plane, die Geometrie als Leitfaden für Sackgassen und vielversprechende, aber unerforschte Ecken in der Landschaft möglicher Muster zu nutzen. Und es könnte spannend sein, die mathematische Sprache der symbolischen Ebene zum Trainieren von Modellen für maschinelles Lernen zu verwenden, fügte er hinzu.

„Ich bin wirklich fasziniert von der Schönheit davon“, sagte Novoselov. „Mit sehr wenig – nur einem grundlegenden mathematischen Ansatz, der wirklich reine Geometrie ist, nur Diagrammen in 2D – kann man so viele Dinge vorhersagen.“

Die Rechnung ist einfach, sagte Senechal. Aber „um Einfachheit zu erkennen“, fügte sie hinzu, „erfordert viel Raffinesse.“

Korrektur: 30. Juni 2023 Die Grafik, die die symbolische Ebene darstellt, wurde aktualisiert, um zu verdeutlichen, dass der schattierte Teil alle zulässigen konvexen 2D-Mosaiken darstellt, nicht nur alle zulässigen 2D-Mosaiken.

Mitwirkender Autor

21. Juni 2023

Lassen Sie sich das Quanta Magazine in Ihren Posteingang liefern

Erhalten Sie Highlights der wichtigsten Nachrichten direkt in Ihren E-Mail-Posteingang

Das Quanta Magazine moderiert Kommentare, um eine fundierte, sachliche und zivile Konversation zu ermöglichen. Beleidigende, profane, eigenwerbliche, irreführende, inkohärente oder themenfremde Kommentare werden abgelehnt. Die Moderatoren sind während der regulären Geschäftszeiten (New Yorker Zeit) besetzt und können nur Kommentare entgegennehmen, die auf Englisch verfasst sind.