Origami – Mathematik beim Falten

Nov 30, 2023

7. Januar 2015

von Thomas Hull, The Conversation

Origami ist die alte japanische Kunst des Papierfaltens. Ein ungeschnittenes Quadrat Papier kann in den Händen eines Origami-Künstlers zu einem Vogel, einem Frosch, einem Segelboot oder einem japanischen Samurai-Helmkäfer gefaltet werden. Origami kann außerordentlich kompliziert und kompliziert sein.

Die Origami-Kunst erlebte in den letzten 30 Jahren eine Renaissance, wobei neue Designs mit immer höherer Komplexität geschaffen wurden. Es ist kein Zufall, dass dieser Anstieg der Origami-Komplexität zur gleichen Zeit stattfand, als Wissenschaftler, Mathematiker und Origami-Künstler selbst immer mehr mathematische Regeln entdeckten, die die Funktionsweise des Papierfaltens bestimmen.

Wenn Sie ein Origami-Modell, zum Beispiel eines Vogels, nehmen und es vorsichtig auseinanderfalten, sehen Sie das Faltenmuster, das als Blaupause für das Modell dient. Dieses Faltmuster birgt das Geheimnis, wie sich das Papier zum Vogel falten lässt – und dieses Geheimnis ist Mathematik. Theoretisch könnten wir anhand dieses Faltmusters genau bestimmen, wie sich das Papier falten soll und welche Form es annehmen wird – vorausgesetzt, wir verstehen alle geheimen Regeln des Papierfaltens.

Im Kern geht es in der Mathematik darum, die Regeln und Muster des Universums zu verstehen, seien es Muster in Zahlen, auf dem Aktienmarkt oder in der Natur. Im Fall von Origami müssen wir uns die Geometrie des Faltenmusters ansehen, wo sich die Linien schneiden, welche Winkel sie bilden und in welche Richtung sich die Falten falten: Handelt es sich um Talfalten oder Bergfalten?

Die meisten traditionellen Origami-Modelle lassen sich flach zusammenfalten, sodass Sie das Modell in ein Buch drücken können, ohne es zu zerknittern. Es zeigt sich, dass die Faltenmuster flacher Origami-Modelle ganz besondere Eigenschaften haben. Einer davon heißt Maekawas Theorem: An jedem Scheitelpunkt, an dem sich Falten in einem flachen Origami-Faltenmuster schneiden, beträgt der Unterschied zwischen der Anzahl der Berg- und Talfalten immer zwei. An einem Scheitelpunkt könnte es also beispielsweise 5 Berge und 3 Täler geben, aber niemals 6 Berge und 2 Täler.

In den 1970er Jahren erfand der japanische Astrophysiker Koryo Miura seine Miura-Kartenfalte, auch bekannt als Miura-ori. Es ist ein Beispiel für eine Origami-Tesselation, bei der eine Form ohne Lücken auf einer gesamten Oberfläche immer wieder wiederholt wird. In diesem Fall ist das Faltenmuster eine Kachelung aus Parallelogrammen, die so angeordnet sind, dass die Linien der Kachelung ebenfalls den Regeln des flach gefalteten Origami entsprechen. Dr. Miura wählte die Berge und Täler seines Faltenmusters so, dass sich das Modell sehr leicht öffnen und schließen ließ.

Dieses Faltmuster ist eine sehr gute Alternative zum Falten einer Karte, da es sich so leicht öffnen und schließen lässt. Aber Dr. Miura nutzte dieses Design, um große Solarmodule im Weltraum einzusetzen. Stellen Sie sich jedes Parallelogramm als eine Solarzelle vor, die dann alle durch Scharniere verbunden sind. Das Array lässt sich dann zu einem kleinen Paket zusammenfalten, um es auf einem Weltraumsatelliten zu platzieren, bevor es mit einer Rakete gestartet wird. Im Weltraum konnte es mit einer einfachen Expansionsstange ohne die Hilfe von Menschenhand geöffnet werden.

Die Miura-Kartenfalte hat viele Forscher dazu inspiriert, ihre Funktionsweise, ihre Eigenschaften und ihre Verwendungsmöglichkeiten zu untersuchen. Ich habe zum Beispiel mit einem Team zusammengearbeitet, dem Forscher der University of Massachusetts-Amherst und der Cornell University angehörten, um die Miura-Kartenfalte als mechanisches Gerät zu untersuchen; Wie viel Kraft ist nötig, um die Falte zusammenzudrücken, und wie stark federt sie beim Loslassen zurück? In „Science“ haben wir darüber berichtet, wie wir dieses Verhalten ändern können, indem wir Defekte in die Miura-Kartenfalte einführen, indem wir beispielsweise einige Eckpunkte in die andere Richtung verschieben. Ein Beispiel ist unten dargestellt.

Unsere Gruppe hat sich auch mit dem Selbstfalten beschäftigt. Wir haben Materialien hergestellt, die sich selbst falten, was auch für andere Gruppen ein interessantes Thema war. Die Gruppe von Ryan Hayward am Conte National Center for Polymer Research hat eine Möglichkeit entwickelt, mikroskopisch kleine Gelfolien beim Erhitzen entlang der Faltenlinien aufquellen zu lassen. Ihre Methoden können einen mikroskopisch kleinen Kran herstellen:

Dieser Kran könnte der kleinste gefaltete Kran sein, der jemals hergestellt wurde! Das selbstfaltende Polymergel kann sehr komplizierte Designs erstellen, wie diese dreidimensionale Oktaeder-Tetraeder-Fachwerk-Tessellation:

Solche winzigen, sich selbst faltenden Gelobjekte könnten eines Tages in der Biotechnik eingesetzt werden. Stellen Sie sich ein giftiges Krebsmedikament vor, das in einem sich selbst faltenden Origami-Ball eingeschlossen ist, wobei der Ball so programmiert ist, dass er sich nur dann entfaltet, wenn er mit einem Tumor in Kontakt kommt. Dann kann das Medikament gezielt an den Tumor abgegeben werden, ohne andere Körperteile des Patienten zu vergiften.

Keine dieser Origami-Anwendungen wäre möglich, ohne die mathematischen Regeln hinter Origami zu verstehen. Es ist ein großartiges Beispiel dafür, wie Mathematik – und Origami – an unerwarteten Orten zu finden sind.

Quelle: Das Gespräch

Diese Geschichte wurde mit freundlicher Genehmigung von The Conversation veröffentlicht (unter Creative Commons-Namensnennung/Keine Derivate).